اختصاصی بسپار/ پلیمری ها و فلسفه علم/ از یقین تا امکان: دو خط موازی سرانجام به هم می رسند!

بسپار/ایران پلیمر مجموع زوایای مثلث همیشه برابر با 180 درجه نیست.
دو خط موازی سرانجام به هم می رسند!
خواندن این جملات چه حسی در شما برمی‌انگیزد؟ شاید در نگاه اول به نظر مضحک بیایند. زیرا از همان سال‌های نخست تحصیل آموخته‌ایم که دو خط موازی هرگز یکدیگر را قطع نمی‌کنند و مجموع زوایای مثلث همواره ۱۸۰ درجه است. این اصول ساده بیش از دو هزار سال بنیان هندسه‌ی اقلیدسی و به تبع آن بخش بزرگی از دانش بشری بوده‌اند.
اما تاریخ علم به ما می‌آموزد که «بدیهیات» همیشه هم بدیهی نیستند. همان‌طور که هزاران سال دیدگاه زمین‌مرکزی ارسطو حقیقتی بی‌چون‌وچرا تلقی می‌شد، اما با انقلاب کوپرنیکی و مشاهدات گالیله فرو ریخت، اصل توازی اقلیدس نیز سرنوشتی مشابه یافت.
در این مقاله خواهیم دید که چگونه هندسه‌ی اقلیدسی، که قرن‌ها به‌عنوان تنها هندسه‌ی ممکن تصور می‌شد، جای خود را به چشم‌اندازی تازه داد. اهمیت این ماجرا تنها در تغییر یک اصل هندسی نبود؛ بلکه مهم‌تر از آن، واکنش ما به شکستن این «حقیقت‌های دیرینه» است: آیا می‌توانیم بپذیریم که باورهای ریشه‌دار ما نیز روزی ترک برمی‌دارند؟

داستان یک آغاز
اسکندریه، حدود ۲۳۰۰ سال پیش. مردی که شیفته‌ی نظم و روشنی اندیشه بود، با پرسشی اساسی روبه‌رو شد: چگونه می‌توان به دانشی دست یافت که از خطا و تردید در امان بماند؟
همین پرسش، جرقه‌ی نگارش اثری ماندگار شد: کتاب اصول. اثری که بیش از دو هزار سال شالوده‌ی تفکر هندسی بود و از نیوتون گرفته تا دکارت بر بسیاری از اندیشمندان اثر گذاشت.
تفاوت اقلیدس با دیگران در روش او بود. در حالی که بسیاری صرفا شکل می‌کشیدند یا فرمول می‌گفتند، اقلیدس راهی تازه گشود: نخست چند تعریف و اصل بدیهی بنیان گذاشت (مثلا این‌که «از هر دو نقطه تنها یک خط راست می‌گذرد»). سپس گام‌به‌گام، همانند معماری که آجرها را یکی‌یکی بر هم می‌چیند، قضایا را بر اساس این اصول اثبات کرد. بدین ترتیب، از ساده‌ترین مفاهیم، بنایی باشکوه و منسجم ساخته شد که قرن‌ها پابرجا ماند.
از سویی او با این کار نشان داد که علم می‌تواند نظام‌مند و یقینی باشد؛ یعنی هر نتیجه باید از اصول آغازین و استدلال درست بیرون بیاید، نه از حدس، گمان یا تجربه‌ی خام.
هندسه ی اقلیدسی به زبان ساده
هندسه ی اقلیدسی همان هندسه‌ای است که بیشتر ما در مدرسه با آن آشنا می‌شویم. اقلیدس برای ساختن هندسه، به جای شروع از شکل‌ها و محاسبه‌ها، یک روش منطقی انتخاب کرد. ابتدا چند مفهوم را تعریف کرد (مثل نقطه، خط، سطح) و سپس با این مفاهیم چند اصل یا بدیهیات (گزاره‌هایی آن‌قدر روشن که نیاز به اثبات ندارند) را مبنای هندسه خود نهاد. در نهایت از این اصول با استدلال منطقی قضایا را نتیجه گرفت.
در واقع اقلیدس در کتاب اصول (13 جلد)، از پنج اصل یا بَدیهی (postulate) تمام هندسه ی خود را که حدود ۴۶۵ قضیه است استخراج کرد. این قضایا شامل ساده‌ترین نتیجه‌ها (مثل اینکه دو خط با طول برابر هم‌پوشان‌اند) تا پیچیده‌ترین آنها (مثل قضیه ی فیثاغورس یا خواص چندوجهی‌ها) گسترده‌اند.
پنج اصل این هندسه عبارتند از:
1. از هر دو نقطه متمایز، یک و تنها یک خط راست می‌گذرد.
2. هر پاره‌خط را می‌توان تا بینهایت رویِ خطِ راست امتداد داد.
3. با یک نقطه به عنوانِ مرکز و یک پاره‌خط به عنوانِ شعاع می‌توان یک دایره رسم نمود.
4. همه ی زوایایِ قائمه با هم برابرند.
5. اصل توازی: اگر خط مستقیمی دو خط مستقیم را قطع کند و مجموع زوایای داخلی یک سمت کمتر از ۱۸۰ درجه باشد، آنگاه آن دو خط اگر به طور نامحدود امتداد داده شوند، بالاخره در همان سمت یکدیگر را قطع خواهند کرد.
فراتر از فرمول ها
اهمیت کار اقلیدس فقط در این نبود که شکل‌ها و فرمول‌های هندسی را مرتب کرد، بلکه چند جنبه بنیادی داشت که باعث شد «اصول» او یکی از مهم‌ترین کتاب‌های تاریخ علم و فلسفه شود:
• بنیان‌گذاری روش استدلال ریاضی
اقلیدس نشان داد که می‌توان از چند اصل ساده و بدیهی، با استدلال منطقی و گام‌به‌گام، کل یک دانش عظیم را بنا کرد.
این روش بعدها الگوی ریاضیات، منطق، و حتی فلسفه شد. دکارت و اسپینوزا از جمله افرادی هستند که با الهام از این تفکر تلاش کردند که فلسفه را چون هندسه بر اصولی بدیهی بنا کنند.
• زبانی جهانی برای ریاضی و علم
کتاب اصول بیش از دو هزار سال متن درسی استاندارد هندسه در سراسر جهان بود. تا قرن نوزدهم، هر کسی می‌خواست ریاضی‌دان شود باید اقلیدس را می‌خواند. حتی نیوتون نام کتابش را آشکارا به تقلید از اقلیدس اصول ریاضی فلسفه طبیعی گذاشت.
• تصویر رسمی از فضا
برای قرن‌ها، درافکار و تصورات انسان ها فضا با اشکال هندسه اقلیدسی توصیف می‌شود: مسطح، با خطوط راست بی‌نهایت، و با یک خط موازی از هر نقطه. نگاهی که در قرن نوزدهم به چالش کشیده شد.
• پیوند ریاضیات و یقین

بزرگ‌ترین میراث اقلیدس این بود که هندسه را از مجموعه‌ای از تجربه‌های پراکنده و رسم‌های شهودی به دانشی یقینی و نظام‌مند تبدیل کرد. این باعث شد هندسه به نماد «یقین علمی» بدل شود و فیلسوفان (مثل کانت) در بحث از امکان شناخت مطمئن به سراغ آن بروند.

توضیح عکس:
از میان آثار ام. سی. آشر (M.C. Escher)، مجموعه‌ی “Circle Limit”، به‌ویژه Circle Limit III و Circle Limit IV، نمونه‌ای جذاب از هندسه هذلولوی به‌شمار می‌رود.
آشر از مدل پوانکاره دیسکی الهام گرفت؛ مدلی که در آن «خطوط راست» به شکل کمان‌هایی درون یک دایره نمایش داده می‌شوند و هرگز به لبه ی دایره نمی‌رسند.
در آثار آشر، الگوها بی‌نهایت بار و به‌طور پیوسته تکرار می‌شوند و هر بار کوچک‌تر به نظر می‌رسند، درست مانند فضای هندسه هذلولوی. این نقاشی‌ها نمونه‌ای دیدنی از برخورد ریاضیات و هنر هستند که پیچیدگی و زیبایی هندسه غیر اقلیدسی را به تصویر می‌کشند.

جهان اقلیدسی ما
برای بیش از دو هزاره، هندسه اقلیدسی نه فقط شاخه‌ای از ریاضیات، بلکه الگویی از عقلانیت، قطعیت و ضرورت در سراسر فرهنگ علمی بشر بود اقلیدس با پنج اصل موضوعه، چند تعریف دقیق و مجموعه‌ای از قضایا، تصویری از فضایی هموار، بی‌کران و منظم ارائه داد که در نظر بسیاری از فیلسوفان و دانشمندان، بازتاب مستقیم «ساختار واقعی جهان» بود.
از دوران باستان تا عصر روشنگری، هندسه اقلیدسی زبان مشترک معماران، منجمان، نقشه‌برداران و فیزیک‌دانان بود. گالیله و نیوتن بر مبنای این هندسه قوانین مکانیک را تدوین کردند و کانت آن را شاهدی بر وجود «احکام تألیفی پیشینی» دانست -احکامی که نه از تجربه، بلکه از ساختار ذهن ما ناشی می‌شوند و در عین حال محتوای تجربی دارند-. در نظر کانت، حقایق هندسی از نوع «ضروری» و «کلی» بودند، و این ضرورت، تضمین می‌کرد که هندسه اقلیدسی نه تنها در ذهن، بلکه در جهان واقعی نیز صادق است.
با این حال، در قلب این بنای عظیم عقلانی، اصلی وجود داشت که قرن‌ها ذهن ریاضی‌دانان را به خود مشغول کرده بود: اصل توازی.
ولی افتاد مشکل ها
اصل شماره پنج، اصل توازی، به شکلی بیان می کند که «از هر نقطه بیرون از یک خط، تنها یک خط موازی با آن می‌توان رسم کرد». اما درست در همین نقطه ظاهرا بدیهی، بذر تردید کاشته شد: آیا این اصل واقعا بدیهی است یا می‌توان هندسه‌ای تصور کرد که در آن این قانون برقرار نباشد؟
پرسشی که در ابتدا تنها یک چالش فنی در ریاضیات به شمار می‌آمد، به مرور به بحرانی فلسفی و معرفت‌شناختی بدل شد؛ بحرانی که در نهایت نشان داد بنیان‌هایی که روزی تصور می‌شد ابدی و تغییرناپذیرند، می‌توانند جای خود را به بدیل‌هایی کاملا متفاوت بدهند.
اصل توازی از ابتدا با دیگر اصول پنجگانه ی هندسه تفاوتی داشت که قرن ها دهن ریاضیدانان را مشغول خویش کرده بود. این اصلا برخلاف دیگر اصول طولانی و پیچیده بود و همچنین بیشتر از آنکه به چشم واضح بیاید، به تجربه و شهود هندسی وابسته است. ترسیم یک خط موازی از نقطه ای خارج از خط روی کاغذ ما را به این نتیجه می رساند؛ ولی اقلیدس نمی‌توانست توضیح بدهد چرا این اصل باید همیشه و در هر جا درست باشد. برخلاف دیگر اصول، شهودی و بی‌واسطه نبود. اقلیدس خود چندان به «اصل توازی» اعتماد نداشت و همین نکته نشان می‌دهد که او کوشید تا جایی که می‌تواند استفاده از آن را در عناصر به تعویق بیندازد؛ چنان‌که نخستین بار تنها در قضیه ی بیست‌ونهم به‌کار رفت. این اصل از همان دوران باستان تا قرون میانه همواره محل تردید بود و ریاضی‌دانان بسیاری کوشیدند آن را از دل دیگر اصول استخراج کنند.
مسیر تلاش‌ها برای توجیه اصل توازی